Некоторые краевые задачи для операторно-дифференциальных уравнений типа Соболева
Аннотация
Рассматривается вопрос о разрешимости краевых задач для операторно-дифференциального уравнения вида $Bu_t-Lu=f,$ где $B,\,L\,:\,X\rightarrow X$ ($X$ — банахово пространство) — замкнутые операторы такие, что $D(L)\subset D(B)$ ($D(L), D(B)$ — области определения соответствующих операторов), с краевыми условиями $Bu(0) = Bu_0$ или $\int\limits^T_0 Bu(\tau)d\sigma(\tau)=Bu_0,$ где $\sigma$ — функция ограниченной вариации. Уточняются некоторые известные результаты о разрешимости начальнокраевых задач для операторно-дифференциальных уравнений типа Соболева в случае произвольного убывания (роста) резольвенты соответствующего линейного пучка. Получены теоремы о существовании и единственности решений задачи типа Коши и нелокальной краевой задачи общего вида, в том числе при определенных условиях показана максимальная регулярность решений. Последние результаты основаны на теореме Михлина для операторнозначных мультипликаторах Фурье. В отличие от предыдущих результатов в качестве функциональных пространств используются пространства Соболева — Бесова.
Литература
[1] Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 1993. Vol. 163. P. 353–384.
[2] Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New York: Marcel Dekker, Inc., 1999.
[3] Favini A., Yagi A. Quasilinear degenerate evolution equations in Banach spaces // J. Evolution Equ. 2004. V. 4. P. 421–449.
[4] Bojovic D. R., Jovanovic B. S., Matus P. P. On the strong stability of first-order operatordifferential equations // Differ. Equ. 2004. V. 40, N 5. P. 703–710.
[5] Мельникова И. В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 4. С. 892–910.
[6] Melnikova I. V., Al’shansky M. A. Well-posedness of the Cauchy problem in a Banach space: regular and degenerate cases // J. Math. Sci. 1997. V. 87. N 4. P. 3732–3780.
[7] Abdulkerimli L. Sh., Eminova Sh. L. Well-posedness of a class of operator-differential equations // Differ. Equ. 2017. V. 53, N 10. P. 1288–1293.
[8] Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht: VSP, 2003.
[9] Пятков С. Г., Абашеева Н. Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1419–1435.
[10] Пятков С. Г., Абашеева Н. Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа. Вырожденный случай // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 3. С. 678–693.
[11] Favini A., Sviridyuk G. A., Manakova N. A. Linear Sobolev type equations with relatively p-sectorial operators in space of "noises" // Abstr. Appl. Anal. 2015. 8 p.
[12] Федоров В. Е., Иванова Н. Д., Федорова Ю. Ю. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 4. С. 882–897.
[13] Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, № 3. С. 173–200.
[14] Федоров В. Е., Сагадеева М. А. Существование экспоненциальных дихотомий некоторых классов вырожденных линейных уравнений // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11, № 2. С. 82–92.
[15] Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67, № 2. С. 133–166.
[16] Denk R., Hieber M., Pruss J. R-boundedness, Fourier multipliers, and problems of elliptic and parabolic type // Mem. Amer. Math. Soc. 2003. V. 166, N 788.
[17] Denk R., Krainer T. R-boundedness, pseudodifferential operators, and maximal regularity for some classes of partial differential operators // Manuscr. Math. 2007. V. 124, N 3. P. 319–342.
[18] Kunstman P. C., Weis L. Maximal Lp-regularity for parabolic equations, Fourier multiplier theorems and H-functional calculus // Lect. Notes Math. 2004. V. 1855. P. 65–311.
[19] Denk R., Hieber M., Pruss J. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data // Math. Z. 2007. V. 257, N 1. P. 93–224.
[20] Grisvard P. Commutative de deux functeurs d’interpolation et applications // J. Math. Pures Appl. 1966. V. 45, N 2. P. 143–206.
[21] Grisvard P. P. Equations differentielles abstraites // Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV Ser. 1969. V. 2. P. 311–395.
[22] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
[23] Da Prato G., Grisvard P. Commutative de deux functeurs d’interpolation et applications // J. Math. Pures Appl. 1975. V. 54, N 3. P. 305–387.
[24] Haase M. The functional calculus for sectorial operators. Basel; Boston; Berlin: BirkhauserVerl., 2006 (Operator Theory: Adv. Appl.; V. 169).
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.