Нахождение решения характеристического уравнения для одной неклассической модели диффузии
Аннотация
Для модели Ланжевена динамики броуновской частицы с ортогональными к ее текущей скорости возмущениями в режиме, когда модуль скорости частицы становится постоянным, построено уравнение для характеристической функции $\psi(t, \lambda) = M[exp(\lambda, x(t))/V = v(0)]$ положения $x(t)$ броуновской частицы. При условии, что начальные данные $x(0)$, $v(0)$ независимые, найдено решение для характеристического уравнения. Формируется представление о фундаментальной системе решений уравнения для характеристической функции с использованием аппарата модифицированных функций Бесселя 1-го рода. Установлено, что решения носят затухающий характер по времени. Рассматриваются особенности поведения решений характеристического уравнения в зависимости от соотношения между коэффициентом стоксовского трения и интенсивностью винеровских возмущений, но при условии, что модуль начальной скорости движения частиц находится на многообразии, являющемся притягивающим для скорости. При наличии таких соотношений спектр функции $\psi(t, \lambda)$ содержит области непрерывных значений по аргументу $\lambda$, где $\psi(t, \lambda)$ колебательный процесс, и область, в которой колебания отсутствуют. Полученные результаты подтверждают вывод о том, что модель динамики броуновской частицы, построенная на основе нетрадиционной физической трактовки уравнений Ланжевена стохастических уравнений с ортогональными воздействиями, приводит к трактовке ансамбля броуновских частиц как системы, обладающей волновыми свойствами. Эти результаты согласуются с ранее полученным выводам о том, что при определенном согласовании коэффициентов в исходном стохастическом уравнении при условии малых значений случайных влияний и трения уравнения Ланжевена приводят к описанию плотности вероятности положения частицы на основе волновых уравнений. При больших значениях случайных воздействий и трения плотность вероятности является решением диффузионного уравнения с коэффициентом диффузии, меньшим по сравнению с моделью классической диффузии.
Литература
[1] Ильин Л. Н., Хасминский Р. З. Об уравнениях броуновского движения // Теория вероятностей и ее применение. 1964. Т. 91. С. 466–491.
[2] Хасьминский Р. З. Принцип усреднения для стохастических дифференциальных уравнений // Пробл. передачи информ. 1968. Т. 4. № 2. С. 86–87.
[3] Скороход A. B. Об усреднении стохастических уравнений математической физики // Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. Киев: Наук. думка, 1977. С. 196–208.
[4] Дубко В. А. Понижение порядка системы стохастических дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // Теория случайных процессов. 1980. № 8. С. 35–41.
[5] Дубко В. А. Метод диффузионной аппроксимации в исследовании и построении моделей стохастических динамических систем. Владивосток: Дальнаука, 1994.
[6] Климонтович Ю. Л. Нелинейное броуновское движение// Успехи физ. наук. 1994. Т. 164, № 8. С. 811–844.
[7] Дубко В. А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений. Владивосток: ДВО АН СССР, 1989.
[8] Kac M. A stochastic model related to the telegrapher’s equation // Rocky Mount. J. Math. 1974. V. 4. P. 497–509.
[9] Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967.
[10] Orsinger E., Garra R. , Zeifman A. I. Cyclic random motions with orthogonal directions. arxiv:1912.12625. 2019.
[11] Турбин А. Ф. Одномерный процесс броуновского движения альтернатива модели А. Эйнштейна Н. Винера П. Леви // Фрактальний аналiз та сумiжнi питання. 1998. № 2. С. 47–60.
[12] Колесник А. Д., Турбин А. Ф. Симметричные случайные эволюции в R2 // Докл. АН Украины. 1990. № 2. C. 10–11.
[13] Орсингер Э., Колесник А. Точное распределение в модели случайного движения на плоскости, управляемого гиперболическим уравнением четвертого порядка // Теория вероятностей и ее применения. 1996. Т. 41, вып. 2. C. 451–459.
[14] Sevilla F. J., G´omez Nava L. Theory of diffusion of active particles that move at constant speed in two dimensions // Phys. Rev. E. 2014. V. 90. 022130.
[15] Дубко В. А. Интегральные инварианты, первые интегралы и притягивающие многообразия систем стохастических дифференциальных уравнений // Нелинейные задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. трудов. Киев: НАН Украины, Ин-т математики, 1998. C. 87–90.
[16] Дубко В. А. Первый интеграл системы стохастических дифференциальных уравнений. Киев, 1978. 28 с. (Препринт/ Ин-т математики АН УССР; No. 78.27).
[17] Скороход A. B. Стохастические уравнения системы многих частиц // Математические методы в биологии. Киев: Наук. думка, 1977. С. 38–53.
[18] Дубко В. А. Об одной модели диффузии с постоянной скоростью // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 25, № 1. C. 31–44.
[19] Карачанская Е. В., Петрова А. П. Неслучайные функции и решения стохастических дифференциальных уравнений типа Ланжевена // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 3. С. 55–69.
[20] Карачанская Е. В., Петрова А. П. Применение программного управления с вероятностью 1 для некоторых задач финансовой математики // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 1. С. 25–38.
[21] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены (2-е изд.). М.: Наука, 1974.
[22] Лаврентьев М. А.,Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
[23] Ланжевен П. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1960; Наука, 1964.
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.