Оценка резольвенты и спектральные свойства одного класса вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области

Аннотация

Работа посвящена исследованию спектральных асимптотик эллиптических операторов произвольного четного порядка в ограниченной области со степенным вырождением вдоль всей границы. Исследуемые операторы порождаются с помощью полуторалинейных форм, которые могут не удовлетворять условию коэрцитивности. Основная часть опубликованных работ по этому направлению относится к случаю, когда коэффициенты исследуемых операторов представимы в виде произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы. В отличие от этого здесь изучаем эллиптические операторы, младшие коэффициенты которых принадлежат некоторым $L_p$-пространствам со степенным весом. Ранее во многих работах, где изучалась оценка резольвенты несамосопряженных операторов, порожденных с помощью полуторалинейных форм, доказывалось неравенство вида $||(A-\lambda E)^{-1}||\leq M|\lambda|^{-1/2}$. Здесь доказано одно представление резольвенты исследуемого оператора $A$, которое позволяет получить неравенство такого типа с показателем 1 вместо 1/2. На основе таких неравенств можно исследовать вопросы суммируемости в смысле Абеля — Лидского системы корневых вектор-функций оператора $A$. Также доказывается, что оператор $A$ имеет дискретный спектр, и изучается асимптотика функции $N(t)$, указывающей число собственных значений оператора $A$, не превосходящих по модулю $t$, с учетом их алгебраических кратностей.