Оптимальное управление углом наклона трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко с упругим включением
Ключевые слова:
наклонная трещина, упругое включение, пластина, оптимальное управление, модель Тимошенко
Аннотация
Математическое моделирование и исследование задач о деформировании неоднородных тел, содержащих трещины вдоль упругих включений, предполагает задание условий сопряжения на границе стыка разных материалов. Трудности связаны с возможностью появления больших значений напряжений вблизи включений. Определение неоднородных тел с наиболее оптимальными параметрами представляет собой одно из самых востребованных направлений теоретических и экспериментальных исследований. В данной работе исследована задача оптимального управления углом наклона трещины к срединной плоскости в задаче о равновесии упругой пластины Тимошенко, содержащей наклонную трещину на границе упругого включения. Сложность задачи заключается в том, что на берегах трещины существует условие непроникания, имеющее вид неравенства. Функционал качества характеризует отклонение от заданных перемещений. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Установлена непрерывная зависимость решений от значения угла наклона трещины.
Литература
[1] Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
[2] Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.
[3] Lazarev N., Semenova G. An optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic two-dimensional body on the outer edge // J. Optim. Theory Appl. 2018. V. 178, N. 2. P. 614–626.
[4] Khludnev A. M. On modeling thin inclusions in elastic bodies with a damage parameter // Math. Mech. Solids. 2019. V. 24, N. 9. P. 2742–2753.
[5] Khludnev A., Popova T. Equilibrium problem for elastic body with delaminated T-shape inclusion // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 376. P. 112870.
[6] Rudoy E., Shcherbakov V. First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks // Appl. Math. Optimization. 2021. V. 84, N 3. P. 2775–2802.
[7] Khludnev A., Fankina I. Equilibrium problem for elastic plate with thin rigid inclusion crossing an external boundary // Z. Angew. Math. Phys. 2021. Bd 72, Heft 3. S. 121.
[8] Khludnev A., Esposito A. C., Faella L. Optimal control of parameters for elastic body with thin inclusions // J. Optimization Theory Appl. 2020. V. 184, N 1. P. 293–314.
[9] Khludnev A. T-shape inclusion in elastic body with a damage parameter // J. Comput. Appl. Math. 2021. V. 393. P. 113540.
[10] Lazarev N., Rudoy E. Optimal location of a finite set of rigid inclusions in contact problems for inhomogeneous two-dimensional bodies // J. Comput. Appl. Math. 2022. V. 403. P. 113710.
[11] Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkhäuser-Verl., 1997.
[12] Вторушин Е. В. Управление формой трещины в упругом теле при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 20–30.
[13] Khludnev A. M., Leugering G. R. Optimal control of crack in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math.Mech. 2011. Bd 91, Heft 2. S. 125–137.
[14] Лазарев Н. П. Существование экстремальной формы трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, вып. 4. С. 49–62.
[15] Khludnev A. M., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2013. Bd 64, Heft 1. S. 179–191.
[16] Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину вдоль тонкого жесткого включения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. № 1. C. 32–45.
[17] Лазарев Н. П., Неустроева Н. В., Николаева Н. А. Оптимальное управление углом наклона трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 300–308.
[18] Lazarev N. P. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Mech. 2016. Bd 96, Heft 4. S. 509–518.
[19] Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. Bd 67, Heft 3. S. 71.
[20] Kovtunenko V. A., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model // SIAM. J. Control Optim. 2016. V. 54, N 3. P. 1329–1351.
[21] Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.
[22] Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.
[23] Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 1–14.
[24] Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, № 5. C. 117–121.
[25] Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. C. 164–174.
[26] Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко с наклонной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 4. C. 171–181.
[27] Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18, № 2. C. 74–84.
[28] Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину на границе упругого включения с бесконечной жесткостью поперечного сдвига // Прикл. математика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 2. С. 179–189.
[29] Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. К.: Наук. думка, 1973.
[30] Лазарев Н. П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Прикл. математика и техн. физика. 2012. Т. 53, № 2. С. 175–185.
Поступила в редакцию
07-08-2021
Как цитировать
Неустроева, Н. и Лазарев, Н. (2022) Оптимальное управление углом наклона трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко с упругим включением, Математические заметки СВФУ, 28(4), сс. 58-70. doi: https://doi.org/10.25587/SVFU.2021.71.81.005.
Выпуск
Раздел
Математика
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.