Начально-краевая задача с условиями сопряжения для уравнений составного типа с двумя разрывными коэффициентами

  • Григорьева Александра Ивановна, Shadrina_ai@mail.ru Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, кафедра высшей математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891
DOI: https://doi.org/10.25587/SVFU.2018.98.14227

Аннотация

Изучается разрешимость начально-краевой задачи с условиями сопряжения для двух неклассических дифференциальных уравнений составного типа. Описывается случай, когда коэффициенты каждого рассматриваемого уравнения имеют разрыв 1-го рода в точке нуль. Область исследований задана в виде полосы ввиду наличия точки разрыва, состоящей из двух подобластей. Таким образом, исследуемые уравнения рассматриваются в двух различных областях. Для доказательства существования и единственности регулярных решений (которые имеют все обобщенные производные, входящие в уравнения) начально-краевой задачи используется метод продолжения по параметру, имеющий широкое применение в теории краевых задач. С помощью принципа максимума устанавливается наличие всех необходимых априорных оценок для решений изучаемой задачи.

Литература

[1]Джураев Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, Фан, Ташкент, 1986 [Dzhuraev T. D., Boundary Value Problems for Mixed and Mixed-Composite Type Equations, Fan, Tashkent, 1986]
[2]Kozhanov A. I., Composite type equations and inverse problems, VSP, Utrecht, 1999  mathscinet  zmath
[3]Sviridyuk G. A., Fedorov V. E., Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators, VSP, Utrecht, 2003  mathscinet  zmath
[4]Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа, Физматлит, М., 2007 [Sveshnikov A. G., Al'shin A. B., Korpusov M. O., Pletner Yu. D., Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type, Fizmatlit, Moscow, 2007]
[5]Корпусов М. О., Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях, Либроком, М., 2011 [Korpusov M. O., Blow-up in Non-classical Nonlocal Equations, Librokom, Moscow, 2011]
[6]Амиров Ш., Кожанов А. И., “Глобальная разрешимость начально-краевых задач для некоторых нелинейных аналогов уравнения Буссинеска”, Мат. заметки, 99:2 (2016), 171–180  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; Amirov Sh., Kozhanov A. I., “Global solvability of initial boundary-value problems for nonlinear analogs of the Boussinesq equation”, Math. Notes, 99:2 (2016), 183–191  crossref  mathscinet  zmath  elib  scopus
[7]Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, Изд-во АН СССР, М., 1959 [Bitsadze A. V., Equations of Mixed Type, Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1959]
[8]Ладыженская О. А., Ступялис Л., “Об уравнениях смешанного типа”, Вестн. Ленингр. ун-та, 1967, № 18, 38–46 [Ladyzhenskaya O. A., Stupjalis L., “On equations of mixed type”, Vestn. Leningr. Univ., 1967, no. 18, 38–46]
[9]Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, Наука, М., 1970 [Smirnov M. M., Equations of Mixed Type, Nauka, Moscow, 1970]
[10]Ладыженская О. А., Ступялис Л., “Краевые задачи для уравнений смешанного типа”, Тр. МИАН СССР, 116 (1971), 101–136  mathnet  zmath [Ladyzhenskaya O. A., Stupjalis L., “Boundary problems for mixed-type equations”, Tr. Mat. Inst. Steklova, 116 (1971), 101–136]
[11]Ступялис Л., “Краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений”, Тр. МИАН СССР, 125 (1973), 211–229  mathnet  zmath [Stupyalis L., “Boundary problems for elliptic-hyperbolic equations”, Tr. Mat. Inst. Steklova, 125 (1973), 211–229]
[12]Терсенов С. А., Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени, Ин-т математики, Новосибирск, 1982 [Tersenov S. A., Introduction to the Theory of Parabolic Equations with Varying Time Direction, Inst. Mat., Novosibirsk, 1982]
[13]Моисеев Е. И., Уравнения смешанного типа со спектральным параметром, Изд-во Моск. ун-та, М., 1988 [Moiseev E. I., Equations of Mixed Type with Spectral Parameter, Izdat. Mosk. Univ., Moscow, 1988]
[14]Солдатов А. П., “Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева - Бицадзе. I. Теоремы единственности. II. Теоремы существования”, Докл. АН, 332, 333:6, 1 (1993), 696–698, 16–18  mathnet  zmath [Soldatov A. P., “Problems of Dirichlet type for the Lavrent’ev–Bitsadze equation. I: Uniqueness theorems. II. Existence theorems”, Dokl. Math., 332, 333:6, 1 (1993), 696–698, 16–18]
[15]Хачев М. М., Первая краевая задача для линейного уравнения смешанного типа, Эльбрус, Нальчик, 1988 [Hachev M. M., First Boundary Problem for Linear Mixed-Type Equations, Ehl'brus, Nal'chik, 1988]
[16]Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В., Неклассические операторно-дифференциальные уравнения, Наука, Новосибирск, 2000  mathscinet [Egorov I. E., Pyatkov S. G., Popov S. V., Nonclassical Differential-Operator Equations, Nauka, Novosibirsk, 2000]
[17]Нахушев А. М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука, М., 2006 [Nakhushev A. M., Problems with Shifts for Partial Differential Equations, Nauka, Moscow, 2006]
[18]Сабитов К. Б., “Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области”, Докл. АН, 413:1 (2007), 23–26  mathnet  zmath [Sabitov K. B., “Dirichlet problem for mixed-type equation in a rectangular domain”, Dokl. Math., 75:2 (2007), 193–196]
[19]Маричев О. И., Килбас А. А., Репин О. А., Краевые задачи для уравнений с частными производными с разрывными коэффициентами, Самарск. гос. экономический ун-т, Самара, 2008 [Marichev O. I., Kilbas A. A., Repin O. A., Boundary Value Problems for Partial Differential Equations with Discontinuous Coefficients, Samarsk. Gos. Ekonom. Univ., Samara, 2008]
[20]Моисеев Е. И., Лихоманенко Т. Н., “Об одной нелокальной задаче для уравнения Лаврентьева - Бицадзе”, Докл. АН, 446:3 (2012), 256–258  zmath; Moiseev E. I., Lihomanenko T. N., “A nonlocal boundary value problem for the Lavrent'ev–Bitsadze equation”, Dokl. Math., 86:2 (2012), 187–197  crossref  mathscinet  scopus
[21]Сабитов К. Б., “Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области”, Дифференц. уравнения, 49:2 (2013), 488–496; Sabitov K. B., “Boundary value problem for a third-order equation of mixed type in a rectangular domain”, Differ. Equ., 49:2 (2013), 187–197  crossref  mathscinet  zmath  elib  scopus
[22]Кожанов А. И., “Задача сопряжения для одного класса уравнений составного типа переменного направления”, Неклассические уравнения математической физики, Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 2002, 96–109  zmath [Kozhanov A. I., “A conjugation problem for a class of composite-type equations of variable direction”, Nonclassical Equations of Mathematical Physics, Izdat. Sobolev Inst. Mat., Novosibirsk, 2002, 96–109]
[23]Кожанов А. И., Потапова С. В., “Задача сопряжения для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками со знакопостоянной функцией при старшей производной”, Сиб. журн. чистой и прикл. математики, 15:2 (2015), 51–59  zmath  elib; Kozhanov A. I., Potapova S. V., “Conjugate problem for a third order equation with multiple characteristics and a positive function at the higher order derivative”, J. Math. Sci., 215:4 (2016), 510–516, New York  crossref  mathscinet  elib  scopus
[24]Кожанов А. И., Потапова С. В., “Задача сопряжения для дифференциальных уравнений нечетного порядка с двумя временными переменными и с меняющимся направлением эволюции”, Докл. АН, 474:6 (2017), 661–664  crossref  zmath; Kozhanov A. I., Potapova S. V., “Transmission problem for odd-order differential equations with two time variables and a varying direction of evolution”, Dokl. Math., 95:3 (2017), 267–269  crossref  mathscinet  zmath  elib  scopus
[25]Ильин В. А., Луференко П. В., “Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности, разные упругости, но одинаковые импедансы”, Докл. АН, 428:1 (2009), 12–15  mathnet  zmath; Il'in V. A., Luferenko P. V., “Mixed problems describing longitudinal oscillations of a rod consisting of two segments with different densities and different elasticities but equal impedances”, Dokl. Math., 80:2 (2009), 642–645  crossref  mathscinet  zmath  scopus
[26]Ильин В. А., Луференко П. В., “Обобщенные решения смешанных задач для разрывного волнового уравнения при условии равенства импедансов”, Докл. АН, 429:3 (2009), 317–321  mathnet  zmath; Il'in V. A., Luferenko P. V., “Generalized solutions of initial-boundary value problems for a discontinuous wave equation in the case of equal impedances”, Dokl. Math., 80:3 (2009), 901–905  crossref  mathscinet  zmath  scopus
[27]Олейник О. А., “Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными коэффициентами”, Изв. АН СССР. Сер. мат., 25 (1961), 3–20  mathnet  zmath [Olejnik O. A., “Boundary problems for linear elliptic and parabolic types with discontinuous coefficients”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 25 (1961), 3–20]
[28]Ильин В. А., “О разрешимости задач Дирихле и Неймана для линейного эллиптического оператора с разрывными коэффициентами”, Докл. АН СССР, 137:1 (1961), 28–30  mathnet  zmath; Il'in V. A., “On the solvability of the Dirichlet and Neumann problems for a linear elliptic operator with discontinuous coefficients”, Sov. Math., Dokl., 2 (1961), 228–231  zmath
[29]Ильин В. А., “Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами”, Докл. АН СССР, 142:1 (1962), 21–24  mathnet  zmath; Il'in V. A., “The Fourier method for a hyperbolic equation with discontinuous coefficients”, Sov. Math., Dokl., 3 (1962), 12–16  zmath
[30]Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967  mathscinet [Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural'ceva N. N., Linear and Quasilinear Parabolic Equations, Nauka, Moscow, 1967]
[31]Рогожников А. М., “Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при условии совпадения времени прохождения волн по каждому из этих участков”, Докл. АН, 441:4 (2012), 449–451; Rogozhnikov A. M., “Study of a mixed problem describing the oscillations of a rod consisting of several segments with arbitrary lengths”, Dokl. Math., 85:3 (2012), 399–402  crossref  mathscinet  zmath  elib  scopus
[32]Кулешов А. А., “Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, состоящего из двух участков разной плотности и упругости”, Докл. АН, 442:4 (2012), 451–454  zmath; Kuleshov A. A., “Mixed problems for the equation of longitudinal vibrations of a heterogeneous rod with a free or fixed right end consisting of two segments with different densities and elasticities”, Dokl. Math., 85:1 (2012), 80–82  crossref  mathscinet  zmath  elib  scopus
[33]Смирнов И. Н., “О колебаниях, описываемых телеграфным уравнением в случае системы, состоящей из нескольких участков разной плотности и упругости”, Дифференц. уравнения, 49:5 (2012), 643–648; Smirnov I. N., “On the vibrations described by the telegraph equation in the case of a system consisting of several parts of different densities and elasticities”, Differ. Equ., 49:5 (2013), 617–622  crossref  mathscinet  zmath  elib  scopus
[34]Шубин В. В., “Краевые задачи для уравнений третьего порядка с разрывным коэффициентом”, Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика, 12:1 (2012), 126–138  mathnet  zmath; Shubin V. V., “Boundary value problems for third-order equations with a discontinuous coefficient”, J. Math. Sci., 198:5 (2014), 637–647, New York  crossref  mathscinet  elib  scopus
[35]Potapova S. V., “Boundary value problems for pseudoparabolic equations with a variable time direction. TWMS”, J. Inequal. Pure Appl. Math., 3:1 (2012), 73  mathscinet
[36]Кожанов А. И., Потапова С. В., “Задача Дирихле для одного класса уравнений составного типа с разрывным коэффициентом при старшей производной”, Дальневост. мат. журн., 14:1 (2014), 48–65  mathnet  mathscinet  zmath  elib [Kozhanov A. I., Potapova S. V., “The Dirichlet problem for a class of composite type equations with a discontinuous coefficient of the highest derivative”, Dal'nevost. Mat. Zh., 14:1 (2014), 48–65]
[37]Кожанов А. И., Шарин Е. Ф., “Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. II”, Мат. заметки СВФУ, 21:1 (2014), 18–28  zmath  elib; Kozhanov A. I., Sharin E. F., “A conjugate problem for some higher order nonclassical equations, II”, Mat. zametki SVFU, 21:1 (2014), 16–25
[38]Треногин В. A., Функциональный анализ, Физматлит, М., 2007 [Trenogin V. A., Functional Analysis, Fizmatlit, Moscow, 2007]
Поступила в редакцию
28-02-2018
Как цитировать
Григорьева, А. ( ) Начально-краевая задача с условиями сопряжения для уравнений составного типа с двумя разрывными коэффициентами, Математические заметки СВФУ, 25(2), сс. 12-26. doi: https://doi.org/10.25587/SVFU.2018.98.14227.
Выпуск
Том 25 № 2 (2018)
Раздел
Математика
Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.