Производная энергии для конструкции, состоящей из пластины и тонкой балки
Ключевые слова:
контактная задача, пластина Тимошенко, балка, тонкое препятствие, условие непроникания, задача минимизации, вариационное неравенство, односторонние ограничения, анализ чувствительности формы, производная функционала энергии, скорость высвобождения энергии
Аннотация
Рассматривается новая задача об изгибе конструкции, состоящей из пластины Тимошенко и тонкой балки. Предполагается, что в исходном состоянии пластина и балка соприкасаются вдоль линии. В то же время считается, что на части линии соприкосновения пластина и балка скреплены друг с другом, а на оставшейся части скрепление отсутствует. Вследствие этого при изгибе на части линии прогибы тел могут быть не равны. С целью предотвратить взаимное проникновение между указанными телами используется условие непроникания вида неравенства. Рассмотрены вариационные постановки задачи и изучены свойства вариационного решения. Основным результатом работы является доказательство корректности производной функционала энергии при гладких возмущениях исходной геометрической конфигурации. Найдена явная формула для указанной производной.
Литература
[1] Lewy H. On a variational problem with inequalities on the boundary // J. Math. Mech. 1968. V. 17, N 9. P. 861–884.
[2] Lewy H. On the coincidence set in variational inequalities // J. Differ. Geom. 1971. V. 6. P. 497–501.
[3] Frehse J. Two dimensional variational problems with thin obstacles // Math. Z. 1973. Bd 143. S. 279–288.
[4] Frehse J. On Signorini’s problem and variational problems with thin obstacles // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. 1977. V. 4, N 2. P. 343–362.
[5] Richardson D. Variational problems with thin obstacles. Vancouver: Univ. British Columbia, 1978.
[6] Caffarelli L. A. Further regularity for the Signorini problem // Commun. Partial Differ. Equ. 1979. V. 4, N 9. P. 1067–1075.
[7] Athanasopoulos I., Caffarelli L. A. Optimal regularity of lower-dimensional obstacle problems // J. Math. Sci. 2006. V. 132, N 3. P. 274–284.
[8] Athanasopoulos I., Caffarelli L. A., Salsa S. The structure of the free boundary for lower dimensional obstacle problems // Amer. J. Math. 2008. V. 130, N 2. P. 485–498.
[9] Petrosyan A., Shahgholian H., Ural’tseva N. N. Regularity of free boundaries in obstacle-type problems. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2012.
[10] Schild B. A regularity result for polyharmonic variational inequalities with thin obstacles // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. 1984. V. 11, N 1. P. 87–122.
[11] Schild B. On the coincidence set in biharmonic variational inequalities with thin obstacles // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. 1986. V. 13, N 4. P. 559–616.
[12] Ural’tseva N. N. Regularity of solutions of variational inequalities // Russ. Math. Surv. 1987. V. 42, N 6. P. 191–219.
[13] Ural’tseva N. N. An estimate of the derivatives of the solutions of variational inequalities // J. Soviet Math. 1987. V. 45, N 3. P. 1181–1191.
[14] Guillen N. Optimal regularity for the Signorini problem // Calc. Var. Partial Differ. Equ. 2009. V. 36, N 4. P. 533–546.
[15] Garofalo N., Garcia M. S. V. New monotonicity formulas and the optimal regularity in the Signorini problem with variable coefficients // Adv. Math. 2014. V. 262. P. 682–750.
[16] Koch H., Rüland A., Shi W. The variable coefficient thin obstacle problem: Carleman inequalities // Adv. Math. 2016. V. 301. P. 820–866.
[17] Khludnev A. M., Hoffmann K. H., Botkin N. D. The variational contact problem for elastic objects of different dimensions // Sib. Math. J. 2006. V. 47, N 3. P. 584–593.
[18] Khludnev A., Leugering G. Unilateral contact problems for two perpendicular elastic structures // Z. Anal. Anwend. 2008. Bd 27, Heft 2. S. 157–177.
[19] Khludnev A., Tani A. Unilateral contact problem for two inclined elastic bodies // Eur. J. Mech. A, Solids. 2008. V. 27. P. 365–377.
[20] Фурцев А. И. Дифференцирование функционала энергии по длине отслоения в задаче о контакте пластины и балки // Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. С. 935–949.
[21] Furtsev A. I. On contact between a thin obstacle and a plate containing a thin inclusion // J. Math. Sci. 2019. V. 237, N 4. P. 530–545.
[22] Furtsev A. I. A contact problem for a plate and a beam in the presence of adhesion // J. Appl. Ind. Math. 2019. V. 13, N 2. P. 208–218.
[23] Фурцев А. И. Задача об одностороннем контакте пластины Тимошенко и тонкого упругого препятствия // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 364–379.
[24] Khludnev A., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2012. Bd 92, Heft 5. S. 341–354.
[25] Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. Bd 94, Heft 9. S. 730–739.
[26] Khludnev A. M. A weakly curved inclusion in an elastic body with separation // Mech. Solids. 2015. V. 50, N 5. P. 591–601.
[27] Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39, N 17. P. 4980–4993.
[28] Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. Bd 96, Heft 11. S. 1306–1317.
[29] Khludnev A. M., Shcherbakov V. V. Singular path-independent energy integrals for elastic bodies with Euler–Bernoulli inclusions // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 11. P. 2180–2195.
[30] Хлуднев А. М., Попова Т. С. Об иерархии тонких включений в упругих телах // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 1. С. 87–107.
[31] Хлуднев А. М., Попова Т. С. Задача сопряжения упругого включения Тимошенко и полужесткого включения // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 1. С. 73–89.
[32] Kazarinov N. A., Rudoy E. М., Slesarenko V. Yu., Shcherbakov V. V. Mathematical and numerical simulation of equilibrium of an elastic body reinforced by a thin elastic inclusion // Comput. Math. Math. Phys. 2018. V. 58, N 5. P. 761–774.
[33] Rudoy E. Asymptotic justification of models of plates containing inside hard thin inclusions // Technologies. 2020. V. 8, N 4. 59.
[34] Khludnev A., Esposito A. C., Faella L. Optimal control of parameters for elastic body with thin inclusions // J. Optim. Theory Appl. 2020. V. 84, N 1. P. 293-314.
[35] Khludnev A. M., Popova T. S. On junction problem with damage parameter for Timoshenko and rigid inclusions inside elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2020. Bd 100, Heft 8. e202000063.
[36] Рудой Е. М., Итоу Х., Лазарев Н. П. Асимптотическое обоснование моделей тонких включений в упругом теле в рамках антиплоского сдвига // Сиб. журн. индустр. математики. 2021. Т. 24, № 1. C. 103–119.
Поступила в редакцию
01-02-2021
Как цитировать
.
Выпуск
Раздел
Математика
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.