Квазипараболические уравнения со слабым вырождением

Аннотация

Изучается разрешимость краевых задач в цилиндрических областях $Q =\Omega\times(0, T)$, $\Omega\subset R^n$, $0 < T < +\infty$, для дифференциальных уравнений

$$h(t)\frac{\partial^{2p+1}u}{\partial t^{2p+1}}+(-1)^{p+1}\Delta u + c(x,t)u=f(x,t),$$

в которых $p$ - целое неотрицательное число, $h(t)$ - непрерывная на отрезке $[0, T]$ функция такая, что $\phi(t) > 0$ при $t\in (0, T)$, $\phi(0)\geq 0$, $\phi(T)\geq0$, $\Delta$ - оператор Лапласа по пространственным переменным $x_1,\dots ,x_n$. Особенностями изучаемых задач является то, что, несмотря на вырождение, граничные многообразия в них не освобождаются от несения краевых условий. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Кроме того, описываются некоторые возможные усиления и обобщения полученных результатов.