Абсолютные σ-ретракты и теорема Лузина

Аннотация

Устанавливаются некоторые свойства абсолютных $\sigma$-ретрактов. Приводится обобщение классической теоремы Лузина об аппроксимации измеримых отображений непрерывными отображениями, а именно установлено следующее утверждение.
Теорема. Пусть $Y$ - полное сепарабельное метрическое пространство и $Y$ является абсолютным $\sigma$-ретрактом, $X$ - нормальное пространство, $A$ - замкнутое подмножество $X$, $\mu\geq0$ - мера Радона на $A$, $f:A\rightarrow Y$ - $\mu$-измеримое отображение.
Тогда для всякого $\varepsilon>0$ существуют такое замкнутое подмножество $A_{\varepsilon}$ множества $A$, что $\mu(A\backslash A_{\varepsilon})\leq\varepsilon$, и такое непрерывное отображение $f_{\varepsilon}:X\rightarrow Y,$ что $f_{\varepsilon}(x)=f(x)$ для всех $x\in A_{\varepsilon}$.
Отметим, что связное сепарабельное $ANR(\mathfrak{M})$-пространство принадлежит $AR_{\sigma}(\mathfrak{M})$.