Многомерное неавтономное нелинейное уравнение со старшей частной производной
Аннотация
Исследованы решения многомерного неавтономного дифференциального уравнения в частных производных произвольного порядка, содержащего старшую частную производную, произвольную нелинейность от неизвестной функции и степенные нелинейности по ее первым производным. Для исследования данного уравнения применяется метод разделения переменных. Рассмотрены случаи, когда правая часть уравнения может быть представлена в виде произведения функций, зависящих от некоторых подмножеств независимых переменных, и, в частности, функций одной переменной. При этом выполнена редукция данного уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям либо к уравнениям в частных производных меньшей размерности. Получены частные решения степенного, экспоненциального и логарифмического видов, а также решение полиномиального вида, исследована их зависимость от параметров уравнения, найдены условия существования этих решений. Отдельно рассмотрен случай нелинейного неавтономного уравнения типа Бианки, содержащего однократное дифференцирование по каждой независимой переменной, и получены точные решения такого уравнения.
Литература
[1] Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: ФАН, 1987.
[2] Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское мат. о-во, 2001.
[3] Жегалов В. И., Тихонова О. А. Факторизация уравнений с доминирующей старшей частной производной // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 1. С. 66–72.
[4] Миронов А. Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в $R^n$ // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 584–594.
[5] Уткина Е. А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 697–701.
[6] Рахмелевич И. В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2015. № 1. С. 12–19.
[7] Рахмелевич И. В. О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями // Владикавк. мат. журн. 2016. Т. 18, № 4. С.41–49.
[8] Рахмелевич И. В. Двумерное неавтономное гиперболическое уравнение второго порядка со степенными нелинейностями // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 49. С. 52–60.
[9] Рахмелевич И. В. Многомерное неавтономное уравнение, содержащее произведение степеней частных производных // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5, № 1. С. 119–130.
[10] Галактионов В. А., Посашков С. А., Свирщевский С. Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 2. С. 253–261.
[11] Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.
[12] Полянин А. Д., Журов А. И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике // Докл. АН. 2002. Т. 382, № 5. С. 606–611.
[13] Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
[14] Рахмелевич И. В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 3. С. 37–44.
[15] Рахмелевич И. В. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 1. С. 42–50.
[16] Grundland A. M., Infeld E. A family of non-linear Klein–Gordon equations and their solutions // J. Math. Phys. 1992. V. 33, N 7. P. 2498–2503.
[17] Miller J., Jr., Rubel L. A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions // J. Phys. A. 1993. V. 26. P. 1901–1913.
[18] Polyanin A. D. Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable coefficients // Intern. J. Non-Linear Mech. 2019. V. 111. P. 95–105.
[19] Polyanin A. D. Comparison of the effectiveness of different methods for constructing exact solutions to nonlinear PDEs. Generalizations and new solutions // Mathematics. 2019. V. 7, N 5. P. 386.
[20] Zhdanov R. Z. Separation of variables in the non-linear wave equation // J. Phys. A. 1994. V. 27. P. L291–L297.
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.