Задача распространения поверхностной волны Релея в полупространстве среды Коссера в случае однородных и упруго-стесненных граничных условий
Аннотация
Исследуется задача о распространении поверхностной волны Рэлея в бесконечном полупространстве в рамках микрополярной теории упругости. Предполагается, что деформированное состояние среды описывается независимыми векторами перемещения и вращения (среда Коссера). Получено общее решение, описывающей распространение поверхностной волны Рэлея. Методом построения мажорант показано, что не существует поверхностных волн Релэя в полупространстве упругой среды Коссера, когда на поверхности заданы однородные граничные условия, соответствующие основным задачам классической теории упругости: «жесткая заделка», «скользящая заделка», «жесткая сетка». Для случаев граничных условий, соответствующих задачам классической теории упругости: «свободная поверхность», «упругого стеснения», методом построения мажорант показано, что существует поверхностная волна Рэлея, когда моментные напряжения равны нулю на поверхности, при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу при больших частотах волны; когда вектор вращения равен нулю на поверхности найдены достаточные условия на параметры среды Коссера существования поверхностных волн Релэя, при этом фазовая скорость волны стремится к конечному пределу при больших частотах волны. Качественный анализ полученных дисперсионных соотношений показал, что поверхностная волна Рэлея обладает дисперсией, упругое стеснение приводит к отсутствию поверхностной волны при малых частотах. В случае микрополярной среды из полиуретановой пены построены численные значения параметров волны и деформации среды. Затухание вектора перемещений с глубиной в микрополярной теории упругости более медленное, чем затухание в классической теории упругости. Значительное отличие в значениях вектора перемещения в классической и микрополярной среде наблюдается по направлению упругого стеснения.
Литература
[1] Rayleigh J. W. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc. 1885. V. 17. P. 4–11.
[2] Hayes M., Rivlin R. S. A note on the secular equation for Rayleigh waves // ZAMP. 1962. V. 13, N 1. P. 80–83.
[3] Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F. Elastic waves in layered media. New York: McGrawHill, 1957.
[4] Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. Теория и методы. М.: Мир, 1983.
[5] Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.
[6] Chirit˛ˇa S., Ghiba I.-D. Rayleigh waves in Cosserat elastic materials // Int. J. Eng. Sci. 2012. V. 51. P. 117–127.
[7] Kuznetsov S. V. "Forbidden" planes for Rayleigh waves // Q. Appl. Math. 2002. V. 60, N 1. P. 87–97.
[8] Kuznetsov S. V. Surface waves of non-Rayleigh type // Q. Appl. Math. 2003. V. 61, N 3. P. 575–582.
[9] Voigt W. Theoretische Studien ¨uber die Elasticit¨atsverh¨altnisse der Krystalle // Abh. K¨onig. Gesell. Wiss. G¨ott. 1887. V. 34. P. 3–52.
[10] Cosserat E., Cosserat F. Th´eorie des corps d´eformables. Paris: Hermann et Fils, 1909.
[11] Mindlin D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. V. 16, N 1. P. 51–78.
[12] Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, № 7. С. 1399–1409.
[13] Эринген А. К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 646–751.
[14] Eringen А. С., Suhubi E. S. Nonlinear theory of micro-elastic solids. II // Int. J. Eng. Sci. 1964. V. 2, N 4. P. 389–404.
[15] Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Oxford; New York; Toronto; Sydney; Paris;
Frankfurt: Pergamon-Press, 1986.
[16] Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 3. С. 401–408.
[17] Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224–242.
[18] Chandrasekharaiah D. S. Surface waves in micropolar thermoelasticity // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). 1983. V. 92, N 2. P. 109–120.
[19] Лялин А. Е., Пирожков В. А., Степанов Р. Д. О распространении поверхностных волн в среда Коссера // Акуст. журн. 1982. Т. 28, № 6. С. 838–840.
[20] Mrithyumjaya R. K., Reddy M. P. Rayleigh-type wave propagation on a micropolar cylindrical surface // J. Appl. Mech. 1993. V. 60, N 4. P. 857–65.
[21] Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера // Прикл. механика и техн. физика. 2005. T. 46, № 4. C. 116–124.
[22] Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 4. C. 100–113.
[23] Кузнецов С. В., Мкртычев О. В., Нафасов А. Э. Барьер для защиты застроенных территорий от поверхностных сейсмических волн. Патент РФ на изобретение № RU2475595. 20.02.2013.
[24] Godoy E., Dur´an M., N´ed´elec J.-C. On the existence of surface waves in an elastic half-space with impedance boundary conditions // Wave Motion. 2012. V. 49. P. 585–594.
[25] Khlopotin A., Olsson P., Larsson F. Transformational cloaking from seismic surface waves by micropolar metamaterials with finite couple stiffness // Wave Motion. 2015 V. 58. P. 53–67.
[26] Ардазишвили Р. В., Вильде М. В., Коссович Л. Ю. Трехмерная поверхностная волна в полупространстве и кромочные волны в пластинах в случае смешанных граничных условий на поверхности распространения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014 № 4. С. 53–64.
[27] Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные
задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
[28] Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.
[29] Манукян В. Ф. О существовании поверхностных сдвиговых волн в микрополярных средах // Изв. НАН Армении. 1997. Т. 50, № 2. С. 75–79.
[30] Eremeyev V. A., Lebedev L. P., Altenbach H. Foundations of micropolar mechanics. Heidelberg: Springer, 2013.
[31] Rueger Z., Lakes R. S. Experimental Cosserat elasticity in open-cell polymer foam // Philos. Magaz. 2016. V. 96. P. 93–111.
[32] Gauthier R. D., Jahmans W. E. A quest for micropolar elastic constants. Pt 2 // Arch. Mech. 1981. V. 33, N 5. P. 717–737.
[33] Белубекян М. В. Волна Рэлея в случае упруго-стесненной границы // Изв. НАН Армении. 2011. Т. 64, № 4. С. 3–6.
